Сообщение

Популярные лекции. Малый Мехмат МГУ. Математика I [2011-2016, CAMRip, RUS] (Видеоурок)

Сообщение Stepan » 08 апр 2018, 00:15

Популярные лекции. Малый Мехмат МГУ. Математика, часть I
С середины сентября по апрель в аудитории 16-10 главного здания МГУ по субботам с 16 часов 45 минут до 18 часов 45 минут лучшие преподаватели и учёные читают научно-популярные лекции для школьников 9–11 классов. Лекторий начал работу в октябре 1999 года. Лекции весьма разнообразны по содержанию и уровню трудности, каждая посвящена отдельной теме, чаще всего не связанной с темами предыдущих лекций.
Клячко А.А. Алхименков Ю.А. Шень А.Х. Часовских А.А.
Беклемишев Л.Д. Спивак А.В. Райгородский А.М. Нилов Ф.К. Ландо С.К.
Прасолов В.В. Дворянинов С.В. Васильев В.А. Шкредов И.Д.
Плахов А.Ю. Гашков С.Б.
При оформлении раздачи использованы фотографии лекторов, опубликованные в сети интернет на сайтах Факультета математики, информатики и физики Волгоградского государственного социально-педагогического университета, Популярного сайта о фундаментальной науке "элементы", Кафедры Математической теории интеллектуальных систем и лаборатории Проблем теоретической кибернетики механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, персональной страницы Льва Дмитриевича Беклемишева, Малого мехмата МГУ им. М. В. Ломоносова, Кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики", СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, Образовательного журнала "Потенциал", МЦНМО , Постнаука , ResearchGate, Math-Net.Ru, .
Страна: Россия
Тематика: Образование
Тип раздаваемого материала: Видеоурок
Продолжительность: 72:25:31
Год выпуска: 2011-2017
Язык: Русский
Перевод: Не требуется
Описание: Записи популярных лекций Малого мехмата МГУ.
Александр Васильевич СПИВАК — руководитель лектория и преподаватель Малого мехмата МГУ, автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», энциклопедии «Числа и фигуры», учитель гимназии 1543 (1992-2013).
Представление лектория Малого мехмата МГУ.
24.10.2015. Александр Ханиевич ШЕНЬ — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».
Догонит ли Ахиллес черепаху? Равно ли число 1 числу 0,9999...? Бывают ли бесконечно малые и бесконечно большие числа? Как сложить бесконечно много чисел? На эти вопросы отвечают в «математическом анализе», и на лекции их обсуждаем, не предполагая никакой предварительной подготовки.
1. Ахиллес и черепаха. 0:26:56
2. Квадрат суммы бесконечной геометрической убывающей прогрессии. 0:10:54
3. Производная суммы бесконечной геометрической прогрессии. 0:02:38
4. Ещё раз о сумме чисел, обратных к степеням двойки. 0:04:32
5. Расходимость гармонического ряда. 0:16:28
6. Пытаемся доказать расходимость ряда обратных квадратов. 0:07:26
7. Сходимость ряда обратных квадратов. 0:04:28
8. Два способа рассказать доказательство сходимости. 0:07:35
9. Сумма ряда обратных квадратов и Леонард Эйлер. 0:04:17
10. Иррациональность корней из 2 и из 3. 0:08:33
11. Аксиома Архимеда, верхняя точная грань и бесконечно большие числа. 0:06:37

7.02.2015 и 14.03.2015. Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и информатики Самарского государственного университета, автор статей в журналах «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Квантик», в газете «Математика», организатор Самарских областных математических олимпиад.
Разобрана классическая задача на преследование и убегание: умеющая взлетать только с суши утка плавает по озеру, по берегу которого бегает лиса. Продемонстрирована связь с важной (не только в космонавтике!) задачей о причаливании с нулевой скоростью.
1. Расходимость гармонического ряда. 0:08:52
2. По реке или по озеру. 0:07:46
3. Двигаясь быстрее, потратим меньше времени. 0:01:11
4. Бесконечно долгое причаливание. 0:17:22
5. Сходимость ряда обратных степеней натуральных чисел. 0:15:39
6. Конечность времени причаливания. 0:14:26
7. Контрольный вопрос. 0:05:31
8. Причаливание (повторение). 0:17:51
9. Жук на растягиваемом шнуре. 0:32:32
10. Кирпичи. 0:19:00
11. Утка и лиса. 0:20:07
12. Утка, лиса и причаливание. 0:09:24

7.11.2015. Александр Васильевич СПИВАК.
1. «Вступление: ряды сходящиеся и расходящиеся, закон распределения простых чисел». 0:05:24.
2. «Доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел». 0:03:18
3. «Взаимная простота чисел Ферма». 0:13:39
4. «Аналогичное евклидовому доказательство бесконечности множества простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4». 0:08:45
5) «Бесконечность множества простых чисел, дающих остаток 5 при делении на 6». 0:06:24
6. «Делители увеличенного на число 1 квадрата целого числа и бесконечность множества простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4». 0:11:14
7. «Малая теорема Ферма и неделимость суммы квадрата целого числа и единицы на простое число, дающее остаток 3 при делении на 4». 0:04:26
8. «Разбиение ненулевых остатков на четвёрки и пары». 0:21:24
9. «Малая теорема Ферма». 0:05:10
10. «Бесконечность множества простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 6». 0:10:54
11. «Числа Мерсенна». 0:06:01

28.11.2015. Александр Васильевич СПИВАК. Что такое натуральный логарифм? Число e? Экспонента? Как экспонента и логарифм разлагаются в ряды?
0. «Вступление о пользе логарифмов». 0:03:49.
1. «Натуральный логарифм как площадь под гиперболой». 0:04:49.
2. «Логарифм двух и знакопеременный гармонический ряд». 0:09:03.
3. «Логарифм и его основное свойство». 0:07:15.
4. «Доказательство основного свойства натурального логарифма». 0:08:19.
5. «Число e». 0:22:57.
6. «Бином Ньютона и разложение числа e
в ряд». 0:07:36.
7. «Иррациональность числа e». 0:09:34
8. «Разложение экспоненты в степенной ряд». 0:13:38.
9. «Разложение натурального логарифма в ряд в окрестности единицы» 0:09:52.

5.12.2015. Александр Васильевич СПИВАК. Рассмотрим сумму чисел, обратных к простым числам. Как Эйлер и Эрдёш доказали неограниченность суммы этих дробей? Что такое сходящееся и что такое расходящееся произведение?
1. «Постоянная Эйлера». 0:05:26.
2. «Два определения (о малое и О
большое)». 0:04:11.
3. «Грубая оценка». 0:07:12.
4. «Дирихле о количестве пар чисел, произведение которых не больше данного числа». 0:11:43.
5. «Количество точек с целыми координатами в круге данного радиуса». 0:07:07.
6. «Доказательство Эйлера бесконечности множества простых чисел». 0:06:48.
7. «Сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения». 0:16:39.
8. «Сумма обратных величин простых чисел и логарифм логарифма». 0:13:01.
9. «Эрдёш и расходимость ряда чисел, обратных к простым». 0:10:29.

12.12.2015. Александр Васильевич СПИВАК. Отношение любых двух соседних простых чисел меньше числа 2.
19.12.2015. Александр Васильевич СПИВАК.
1. Вступление. 0:03:17
2. Символ Лежандра. 0:10:35
3. Мультипликативность символа Лежандра. 0:12:26
4. Формула Эйлера для символа Лежандра. 0:10:00
5. Число i помогает извлечь корень из 2. 0:19:36
6. Критерий Гаусса 00:11:16
7. Критерий Гаусса и дополнения к квадратичному закону взаимности. 0:11:26
8. Квадратичный закон взаимности. 0:26:42
9. Символ Якоби. 0:02:16

21.03.2015 и 17.09.2011. Александр Васильевич СПИВАК.
Удалось полностью разобраться в задаче Дж. Конвея о единицах. Она оказалась связана с треугольником Паскаля. Подбирая правила игры, можно получить как великолепную иллюстрацию бинома Ньютона, так и числа Стирлинга для перестановок.
Александр Васильевич СПИВАК. Теорема Менгера (доказанная в 1927 году) гласит: в любом графе максимальное количество путей, которые соединяют две его фиксированные вершины A и B, не пересекаясь при этом друг с другом ни по одной вершине, кроме самих точек A и B, равно минимальному числу вершин, которые можно вычеркнуть из графа так, чтобы после этого A и B оказались в разных компонентах связности, то есть чтобы любой путь от A к B в исходном графе вёл через одну из вычеркнутых вершин.
Во многих посвящённых теории графов книгах приведены довольно трудные доказательства теоремы Менгера. Однако, она является простым следствием из известной и красивой теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе. Таким образом, лекция была посвящена рассказу о важнейших идеях и теоремах теории графов: алгоритму чередующихся цепей, теореме Холла о различных представителях (другими словами, о деревенской свадьбе), теореме Менгера и другим «максиминным» теоремам.
8.10.2016. Александр Васильевич СПИВАК.
1. Латинские квадраты и устойчивые браки. 0:41:54
2. Гипотеза о хроматических числах ребёрного графа. 0:07:40
3. Алгоритм Форда-Фалкерсона. 0:27:54
4. Система различных представителей, или теорема Холла о свадьбе. 0:09:08
5. Теорема Кёнига. 0:02:10

Александр Васильевич СПИВАК.
n-я буква слова Туэ — А или Б в зависимости от того, чётно или нечётно количество единиц двоичной записи числа n. Оказывается, в этом слове никакое подслово не появляется три раза подряд. При помощи слова Туэ легко построить слово в трёхбуквенном алфавите, которое не содержит не только трёх, но даже двух одинаковых подряд идущих подслов. Есть и другие — не использующие конструкцию Акселя Туэ — способы построения бесквадратных слов (для алфавитов, состоящих более чем из двух букв).
Прочитать о бесповторных последовательностях можно в энциклопедии «Числа и фигуры».
8.11.2014 и 29.03.2014. Андрей Михайлович Райгородский — доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель исследовательского отдела в Яндексе, автор брошюр «Вероятность и алгебра в комбинаторике», «Остроугольные треугольники Данцера-Грюнбаума», «Хроматические числа», «Проблема Борсука», «Линейно-алгебраический метод в комбинаторике», «Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии», «Модели случайных графов» и «Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике».
Представим себе такую ситуацию. В некоторую организацию одновременно приехали с визитом несколько иностранцев — скажем, англичанин, француз, японец и венгр. Каждый из них умеет говорить только на своём родном языке. Желая должным образом принять гостя, организация стремится послать на встречу с ним одного из своих сотрудников, который бы владел соответствующим языком и, тем самым, помог визитёру сориентироваться в незнакомом городе (на наёмных переводчиков денег жалко). Допустим, нашлись как сотрудники, знающие английский, так и сотрудники, говорящие по-венгерски, и так далее. Однако организация не хочет отрывать слишком много людей от работы и пытается минимизировать количество сотрудников, командируемых на общение с иностранцами. Ведь могут же найтись и такие полиглоты в её рядах, которые одновременно владеют английским и японским или, и того больше, французским, японским и венгерским? Глядишь, приставит организация одного человека сразу к троим посетителям, и проблем станет меньше?
В общем случае поставленная задача весьма нетривиальна. Иногда её называют задачей о системах представителей, что вполне естественно. Она нашла многочисленные применения в математике.
Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ.
Многие знают утверждение: «Среди любых шести человек некоторые трое попарно знакомы или некоторые трое попарно не знакомы.» Аналогичные утверждения можно доказывать и в случаях, когда, скажем, трое попарно знакомы или семеро попарно не знакомы, либо пятеро попарно знакомы или четверо попарно не знакомы, и так далее. Разумеется, в общем случае потребуется больше, чем 6 человек. Сколько? Это одна из задач теории Рамсея. На лекции сформулированы некоторые результаты этой теории и рассказано о методах, с помощью которых они получаются.
29.10.2016, 12.11.2016, 19.11.2016 и 1.04.2017. Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ и Александр Васильевич СПИВАК.
1. Пятиугольник с красными сторонами и синими диагоналями. 0:11:29
2. Число Рамсея R(3,4). 0:02:31
3. Числа Рамсея. 0:08:50
4. Число R
(3,3,3) не больше 17. 0:14:11
5. Оценка сверху числа Рамсея. 0:17:01
6. Применение формулы Стирлинга. 0:04:58
7. Оценка числа Рамсея снизу. 0:13:44
8. Теорема Рамсея о гиперграфах. 0:19:15
9. Числа Рамсея (повторение). 0:05:19
10. Двудольные числа Рамсея. 0:08:09
11. Оценка снизу двудольного числа Рамсея. 0:20:40
12. Оценка сверху двудольного числа Рамсея. 0:24:59
13. Неравенство Бернулли. 0:06:38
14. Выпуклые функции, или неравенство Йенсена. 0:22:46
15. Число Рамсея от 3 и 4 равно 9 (напоминание). 0:03:23
16. R(3,5) = 14 и R(4,4) = 18. 0:07:25
17. Поле из 4 элементов. 0:16:46
18. Поле из 16 элементов и раскраска в 3 цвета. 0:36:55
19. Многомерные пространства, многодольные и дистанционные графы. 0:57:46
20. Дистанционные числа Рамсея. 0:34:12

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ.
На факультете инноваций и высоких технологий МФТИ из года в год А.М. Райгородский читает для первокурсников «Основы комбинаторики и теории чисел». Некоторая его часть недавно была переработана в интернет-курс. Лекция посвящена нескольким ярким сюжетам из этого курса.
1. Раскраски гиперграфов. 0:43:01
2. Функция и формула обращения Мёбиуса. 0:47:31

Александр Васильевич СПИВАК.
Явная формула для чисел Каталана является частным случаем открытой в 1954 году формулы крюков. При помощи антисимметрических многочленов можно доказать формулу крюков весьма естественным и простым способом. Ознакомиться с этим доказательством можно на стр. 44 - 46 в третьем номере «Кванта» 2009 года. Самостоятельный файл с доказательством формулы крюков.
15.10.2016. Три доказательства формулы Кэли для числа помеченных деревьев .
1. Нумерованные деревья с отмеченными на них началом и концом. 0:21:09
2. Количество лесов с пронумерованными вершинами и бином Ньютона. 0:25:16
3. Количество лесов с данным числом деревьев и нумерованными вершинами. 0:07:11
4. Убираем рёбра по одному, добавляем по одному. 0:19:45
5. Максимальная антицепь решётки подмножеств. 0:13:17

Сергей Константинович ЛАНДО, доктор физико-математических наук, проректор Независимого московского университета, декан факультета математики Высшей школы экономики, член правления Московского математического общества.
Деревья — это связные графы без циклов. Поэтому деревья образуют одно из самых простых, а значит, самых интересных семейств графов. Пересчитать деревья с заданным числом вершин трудно из-за того, что деревья могут быть или не быть симметричными. Однако если запретить деревьям быть симметричными (пронумеровать вершины), то задачу их перечисления можно решить.
5.10.2013. Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ, автор книги «Задачи по планиметрии», преподаватель Независимого Московского Университета. Некоторые книги В.В. Прасолова доступны в электронном виде на его странице сайта МЦНМО.
Несколько отдельных сюжетов, в том числе теорема Сильвестра о том, что если на плоскости дано конечное множество точек, не лежащее ни на какой прямой, то среди этих точек можно найти хотя бы две такие, что на проведённой через них прямой нет больше ни одной точки рассматриваемого множества.
1. 101 число от 1 до 200. 0:02:38
2. Площади треугольников. 0:02:43
3. Теорема Сильвестра. 0:03:32

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ, Александр Васильевич СПИВАК.
Всякий планарный граф можно непрерывно преобразовывать так, что все рёбра в конце концов станут отрезками.
О распрямлении рёбер планарного графа. 0:24:41
Распрямление рёбер планарного графа. 0:20:04

Эта теорема несколько десятилетий в учебниках по теории графов приводилась без доказательства. Виктор Васильевич Прасолов решил изменить эту традицию, применив индукцию по числу граней. Ученик 9 класса Алексей Нигин увидел ошибку и в этом доказательстве. Одно из правильных доказательств (индукция по числу вершин) основано на том, что в любом планарном графе есть хотя бы одна вершина, степень которой не больше числа 5.
28.03.2015, 5.10.2013 и 22.09.2012. Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ. Несколько отдельных сюжетов. Было доказано, что если площадь любого треугольника с вершинами в точках некоторого конечного множества не больше S, то все это множество можно покрыть треугольником площади 4S. А если длины всех биссектрис треугольника не меньше l (или, соответственно, не больше l), то площадь этого треугольника не меньше (соответственно, не больше) площади равностороннего треугольника, длины биссектрис которого равны l.
Было дано определение многочленов Чебышёва, выведена рекуррентная формула и доказано, что именно многочлены Чебышёва дают ответ в задаче о поиске наименее уклоняющегося от нуля на данном отрезке многочлена данной степени и с данным старшим коэффициентом.
1. Доказательство Конвея теоремы Морли о трисектрисах треугольника. 0:12:24
2. Вписанная окружность и уравнение третьей степени. 0:13:02
3. Сопряжённые числа. Уравнение Пелля. 0:26:20
4. Длины биссектрис и площадь треугольника. 0:11:56
5. Многочлены Чебышёва. 0:13:43
6. Многочлены, все значения которых неотрицательны. 0:20:33
7. Проективные преобразования и площадь неевклидова треугольника. 0:41:12

29.09.2012. Александр Васильевич СПИВАК.
Рассказано, как двумя разными способами можно посчитать количество перестановок данного множества, не имеющих ни одной неподвижной точки или имеющих ровно одну такую точку. Оказывается, разность между этими количествами равна единице или минус единице в зависимости от того, чётно или нечётно число элементов рассматриваемого множества.
Александр Васильевич СПИВАК.
Леонард Эйлер открыл свойство дробей, которое было затем переоткрыто и послужило темой статьи Васильева и Гутенмахера в журнале «Квант». Оно связано с интерполяционной формулой Лагранжа, а также со свойствами биномиальных коэффициентов и другими математическими конструкциями
22.09.2012. Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ, Александр Васильевич СПИВАК и Андрей Денисович ВОЛГИН (ученик 10 класса (2012-2013 учебный год) Московской гимназии на Юго-Западе № 1543, победитель международной математической олимпиады 2013 и 2014 годов).
Насколько длинной может быть последовательность, если она одновременно является периодической и с периодом m, и с периодом n?
Насколько длинной может быть последовательность, если сумма любых m её последовательных членов положительна, а сумма любых n её последовательных членов отрицательна?
Эти два вопроса весьма тесно связаны между собой. Если наибольший общий делитель чисел m и n равен d и при этом d не равно 1, то последовательность 1, 2, ..., d можно периодически бесконечно продолжить, тем самым ответив на первый вопрос. Если же d = 1, то ответ на оба вопроса один и тот же: m + m – 2. На второй вопрос ответ в общем случае равен m + md – 1.
1. Прасолов В.В. Сумма каждых семи последовательных чисел отрицательна, а сумма каждых одиннадцати — положительна. 0:05:56
2. Спивак А.В. Двоякопериодические последовательности. 0:55:24
3. Волгин А.Д. Двоякопериодические последовательности — постановка задачи. 0:21:36

19.10.2013. Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ.
Рассмотрим ограниченную фигуру на плоскости. Диаметр фигуры — это максимальное расстояние между парами точек, принадлежащих ей. (Точнее, точная верхняя грань таких расстояний.) В частности, для круга такое понятие диаметра совпадает с общеизвестным. В 1933 году польский математик К. Борсук доказал, что любую фигуру на плоскости можно так разрезать на три «дольки», чтобы диаметр каждой дольки оказался меньше диаметра самой фигуры.
В первой части лекции по индукции доказано, что количество диаметров любого конечного множества точек плоскости не превосходит количества рассматриваемых точек.
Затем (тоже по индукции) при помощи этого утверждения доказано, что любое состоящее более чем из одного элемента конечное множество точек можно разбить на три подмножества меньших диаметров.
Каждую фигуру диаметра 1 можно поместить в квадрат со стороной 1. Впрочем, квадрат со стороной 1 нельзя разрезать на три части, диаметры которых меньше 1. Без доказательства сформулировано утверждение о том, что любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник, расстояния между противоположными сторонами которого равны 1. Такой шестиугольник легко разрезать на три части, диаметры которых меньше 1.
Задачей о разрезании тел (шаров, многогранников и тому подобного) на дольки меньшего диаметра естественно заниматься и в пространстве. Более того, можно рассматривать её в пространстве произвольной размерности. Впервые её в общем виде сформулировал Борсук, который поставил знаменитый вопрос: «Верно ли, что всякое ограниченное n-мерное тело может быть разбито на n + 1 часть меньшего диаметра?» Задача проста по формулировке, но исчерпывающего ответа на вопрос Борсука до сих пор нет, хотя он является одним из самых популярных в комбинаторной геометрии.
Файлы 5-7: сделанная силами Николая Спивака (4 класс) и Никиты Афанасьева (7 класс) добавка к лекции: в пятом и шестом файлах они чуть другим способом повторяют содержание лекции, а в седьмом — доказывают факт, который был сформулирован, но не доказан по недостатку времени на лекции Райгородского.
1. Диаметров не больше, чем точек. 0:47:06
2. Конечное множество разбиваемо на 3 части меньших диаметров. 0:11:02
3. Покрышки. 0:10:01
4. Многомерные пространства. 0:15:48
5. Конечное множество точек плоскости на 3 части меньших диаметров. 0:13:30
6. Диаметров не больше, чем точек. 0:07:22
7. Правильный шестиугольник как покрышка. 0:23:51


21.02.2015. Илья Дмитриевич ШКРЕДОВ — ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры динамических систем мехмата МГУ.
Аддитивная комбинаторика — молодая и активно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке теории чисел и комбинаторики. Основной предмет этой науки — комбинаторные утверждения, в формулировках которых присутствуют операции сложения или умножения. Например, что можно сказать о свойствах множества A + A (множества всевозможных попарных сумм) зная свойства множества A, и наоборот?
Правда ли, что как бы мы ни раскрасили натуральные числа в конечное число цветов, у уравнения x + y = z найдётся такое решение, что x, y и z одного цвета?
Почему любое натуральное число представимо в виде суммы некоторого набора слагаемых, каждое из которых является простым числом или единицей, а общее количество таких слагаемых не превосходит некоторого конкретного числа?
Почему при любой раскраске натурального ряда найдётся сколь угодно длинная арифметическая одноцветная прогрессия?
1. «Сумма двух множеств» 0:09:35
2. «Количество элементов суммы двух конечных множеств не меньше уменьшенной на 1 суммы количеств элементов этих множеств» 0:03:54
3. «Суммы не более чем трёх простых чисел» 0:09:55
4. «Плотности подмножества натурального ряда» 0:08:04
5. «План доказательства» 0:02:03
6. «Плотность суммы не меньше суммы плотностей, из которой вычли произведение плотностей» 0:07:34
7. «Теорема Шнирельмана» 0:03:34
8. «Если сумма плотностей больше 1, то сумма — весь натуральный ряд» 0:05:44
9. «Ван дер Варден, Семереди и Шур» 0:13:46
10. «Два цвета и арифметическая прогрессия длины 3» 0:07:17
11. «Разноцветный веер» 0:08:18
12. «Начало доказательства теоремы Ван дер Вардена» 0:10:50
13. «Завершение доказательства теоремы Ван дер Вардена» 0:02:43

Александр Васильевич СПИВАК.
При любой раскраске натурального ряда в несколько цветов найдётся сколь угодно длинная арифметическая одноцветная прогрессия. Эту теорему доказал Ван дер Варден (1903-1996). На лекции было рассказано доказательство М.А. Лукомской, изложенное в книге А.Я. Хинчина «Три жемчужины теории чисел».
18.04.2015, 28.02.2015 и 16.05.2015. Александр Васильевич СПИВАК.
Сколько единичных кубиков нужно отметить в данном кубе, чтобы для любого другого единичного кубика хотя бы один из отмеченных кубиков получался параллельным переносом вдоль одного из рёбер куба?
Каково наибольшее возможное число рёбер графа с данным числом вершин, в котором нет ни одного треугольника?
1. Расстановки кубиков. 0:29:27
2. Графы без треугольников. 0:11:40
3. Вершина наибольшей степени. 0:09:09
4. Прибавление двух вершин к графу без треугольников. 0:05:52
5. Лемма о невозрастании доли и индукционный переход. 0:19:48
6. Количество треугольников. 0:22:34
7. Максимальное независимое подмножество в графе без треугольников. 0:06:49
8. Графы без четырёхугольников. 0:10:10
9. Конечные проективные плоскости из 7 и из 13 точек. 1:07:43
10. Тысяча карточек и ящики. 0:15:42
11. На любых четырёх вершинах не более четырёх рёбер. 0:19:14
12. Графы без пятиугольников. 0:14:03
13. Теорема о количестве рёбер. 0:06:09
14. Поля из 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25 элементов. 0:39:10

6.12.2014 и 26.11.2016. Александр Васильевич СПИВАК. Обсуждение рисунков Михаила Юрьевича ПАНОВА.
1. Определения и оптические свойства параболы, эллипса, гиперболы. 0:36:34
2. Точки, из которых парабола видна под прямым углом. 0:06:09
3. Спящие и бодрствующие, или О судьбе числа 146. 0:04:26
4. Алгебра и точки, из которых эллипс виден под прямым углом. 0:08:51
5. Геометрия и точки, из которых эллипс виден под прямым углом. 0:09:11
6. Геометрическое определение оптического свойства параболы. 0:04:12
7. Из точек директрисы парабола видна под прямым углом? 0:02:24
8. Огибающие. 0:05:01
9. Огибающая при равномерном движении концов отрезка по вертикали. 0:06:11

7.03.2015, 4.04.2015 и 25.04.2015. Александр Юрьевич ПЛАХОВ — университет Авейро (Португалия) и Институт проблем передачи информации (Москва).
1. Невидимость и биллиард. 0:11:46
2. Тело, невидимое в одном направлении. 0:09:59
3. Оптические свойства эллипса, параболы и гиперболы. 0:04:15
4. Невидимость в двух направлениях. 0:07:52
5. Невидимость из точки. 0:16:42
6. Несуществование мантии-невидимки. 0:12:16
7. Аэродинамическая задача Ньютона. 0:19:05
8. Обтекание невыпуклых тел. 0:10:44
9. Сила сопротивления. 0:24:55
10. Сила сопротивления движению цилиндра, конуса, шара. 0:28:24
11. Неосесимметричное выпуклое тело. 0:06:24
12. Две параболы с общим фокусом. 0:27:10
13. Обтекание куба. 0:11:59
14. Две задачи Безиковича. 0:05:18
15. Поворот отрезка в фигуре сколь угодно малой площади. 0:47:28
16. Поворот отрезка и гармонический анализ. 0:01:46
17. Акопян и две параболы. 0:10:54
18. Ямка маленького сопротивления. 0:32:52

Сергей Борисович ГАШКОВ — автор книг «Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений», «Элементарное введение в эллиптическую криптографию», «Криптографические методы защиты информации», «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях», «Системы счисления и их применения».
О связях между сложением чисел в двоичной системе счисления, треугольнике Паскаля по модулю два и одной элементарной теореме знаменитого немецкого математика Куммера.
1. «Сложение одноразрядных чисел в двоичной системе счисления». 0:19:49
2. «Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты». 0:11:04
3. «Явная формула для чисел треугольника Паскаля». 0:03:30
4. «Формулы для разрядов суммы однозначных чисел и числа сочетаний». 0:07:57
5. «Треугольник Паскаля по модулю два». 0:17:53
6. «Формулы Куммера и Лежандра». 0:26:27
7. «Количество чисел 2012-й строки треугольника Паскаля, кратных числу 3». 0:08:24
8. «Количество чисел 2012-й строки треугольника Паскаля, кратных числу 3». 0:08:35
9. «Сложность вычислений». 0:08:46

Александр Васильевич СПИВАК.
Одна из важнейших математических конструкций — цепные дроби.
Целая и дробная части числа. Пол и потолок. Разложения рациональных чисел и корня из двух в цепные дроби. Подходящие дроби, рекуррентные соотношения между неполными частными и числителями (и знаменателями) подходящих дробей. Континуанты Эйлера. Оценка расстояния между числом и его подходящей дробью.
13.12.2014. Александр Васильевич СПИВАК.
Рассказ об истории и первых шагах математического анализа.
1. Колмогоров, Фейнман, Зайцев, Фихтенгольц. 0:10:06
2. Тихомиров, два предисловия и производная в точке максимума. 0:20:04
3. Нахождение максимума при помощи производной. 0:15:03
4. Замена переменной. 0:09:20
5. Неравенство о средних арифметическом и геометрическом. 0:13:40
6. Доказательство неравенства о средних для трёх чисел. 0:11:28
7. Рейнские бочки. 0:16:37

17.10.2015. Александр Васильевич СПИВАК.
Рассмотрим середины отрезков, один конец каждого из которых принадлежит одной фигуре, а другой принадлежит другой фигуре. Множество середин будем называть полусуммой фигур. Как связана плошадь полусуммы двух ограниченных выпуклых с площадями самих этих фигур? Можно задать и более общий вопрос. Вместо середины у каждого из отрезков рассмотрим точку, которая делит отрезок в некотором данном отношении. Как связаны между собой площади исходных фигур с площадью фигуры, образованной такими точками? Ответ — неравенство Брунна-Минковского. Доказательство очень короткое и красивое.
Из неравенства Брунна-Минковского легко вывести, что из всех выпуклых фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг.
13.02.2016. Александр Васильевич СПИВАК.
Невозможно расположить на плоскости 5 точек и соединить каждую из них с каждой другой ломаными так, чтобы ломаные не имели ни одной общей точки кроме данных пяти точек. Невозможно расположить на плоскости 6 точек и соединить каждую из первых трёх из них с каждой из трёх остальных так, чтобы ломаные не имели ни одной общей точки кроме данных шести точек.
Теорема Куратовского утверждает, что этими двумя примерами по сути исчерпывается список препятствий к планарности графа: любой непланарный граф содержит подграф, гомеоморфный одному из этих двух графов. Многие годы доказательство этой теоремы считалось очень трудным.
1. Куратовский и Макарычев. 0:06:39
2. Непланарность 3 домиков и 3 колодцев, непланарность полного графа на 5 вершинах. 0:06:40
3. Формула Эйлера и непланарность. 0:03:34
4. Метод наименьшего контрпримера. 0:03:02
5. Геометрическое доказательство иррациональности корня из 2. 0:04:54
6. Стягивание ребра в точку. 0:28:04
7. Существование цикла. 0:17:37
8. Точку загоняем внутрь цикла. 0:05:40
9. Отсутствие внешних рёбер. 0:11:48
10. Отсутствие тета-подграфа и схопывание другого ребра. 0:05:59
11. Завершение доказательства. 0:08:50

27.02.2016, 12.03.2016, 26.03.2016 и 9.04.2016. Александр Васильевич СПИВАК.
Комплексные числа и корни из единицы1. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. 0:04:20
2. Сложение и умножение, композиция поворотных гомотетий. 0:09:43
3. Корни из единицы. 0:11:41
4. Вычисление косинуса 72 градусов. 0:08:59
5. Построение правильного пятиугольника. 0:04:16
6. Геометрическое и алгебраическое вычисления суммы корней. 0:05:57
7. Гауссова сумма. 0:18:38
8. Пример вычисления модуля гауссовой суммы. 0:09:32
9. Произведение расстояний до вершин правильного многоугольника. 0:18:13

Постановка задачи о неразложимости на множители с неотрицательными коэффициентами10. Неразложимость на множители с неотрицательными коэффициентами многочлена деления круга на простое число частей. 0:23:23
Многочлены деления круга11. Многочлены деления круга. 0:29:59
12. Признак неприводимости Эйзенштейна. 0:17:20
13. Применение признака Эйзенштейна для неразложимости на множители с неотрицательными коэффициентами. 0:10:23
14. Строим правильный 17-угольник циркулем и линейкой. 0:26:36

Гауссовы суммы и квадратичный закон взаимности15. Модуль гауссовой суммы. 0:20:50
16. Квадрат гауссовой суммы для простого числа, сравнимого с 1 по модулю 4. 0:21:01
17. Квадрат гауссовой суммы для простого числа, сравнимого с 3 по модулю 4. 0:20:43
18. Гауссова сумма и квадратичный закон взаимности. 0:25:45

17.9.2016. Александр Васильевич СПИВАК.
16.9.2017. Александр Васильевич СПИВАК.
1. «Булевы функции, стрелка Пирса и штрих Шеффера». 0:17:26.
2. «Дизъюнктивная нормальная форма, многочлены Жегалкина». 0:09:58
3. «Предполные классы Эмиля Поста». 0:15:24
4. «Штрих Шеффера и стрелка Пирса». 0:11:39
5. «Формулировка теоремы Поста о предполных классах». 0:03:37
6. «Доказательство теоремы Поста о пяти предполных классах». 0:15:59
7. «Иллюстрация к теореме Поста: ноль, единица, конъюнкция и сумма трёх переменных». 0:02:31


Обновление: 28.09.2017 заменена лекция Мусатова Д.В. "Справедливый делёж" на лекцию Спивака А.В. "Композиции булевых функций, полные и предполные классы функций".
25.12.2016 добавлены лекции "Деревья и леса", "Числа Рамсея", "Латинские квадраты и устойчивые браки. Системы различных представителей и алгоритм Форда-Фалкерсона".
Для уменьшения объёма и ради единообразия тематики во вторую часть перенесены лекции Васильева В.А. "Геометрия дискриминанта", Клячко А.А. "Муравьи на мячике", Спивака А.В. "Замечательное свойство трапеции", Шеня А.Х. "Пространственные решения планиметрических задач" и "Алгоритмы и сложность вычислений", Щурова И.В. "Канторово множество и подкова Смейла".
28.09.2016. Добавлена лекция "Метод касательных Ньютона".
23.07.2016 часть лекций выделена в отдельную раздачу для уменьшения общего объёма: лекции читают каждый год и поэтому объём постепенно увеличивается.
12.09.2015 лекции по естественным и гуманитарным наукам были выделены в отдельную раздачу
Качество: CAMRip
Формат: AVI
Видео кодек: MPEG4 DivX/Xvid
Аудио кодек: MP3
Видео: MPEG4 Video (AVI) 720х406 25.00 fps 1200 kbps
MPEG4 Video (AVI) 720х384 25.00 fps 1200 kbps
Аудио: MP3 44100Hz Stereo 128 kbps

Постеры

Соцсети

 

Статистика

Автор: Stepan
Добавлен: 08 апр 2018, 00:15
Размер: 40.78 ГБ
Размер: 43 784 053 227 байт
Сидеров: 0
Личеров: 0
Скачали: 0
Здоровье: 0%
Статус:
Скорость скачивания: 0 байт/сек
Скорость раздачи: 0 байт/сек
Последний сидер: Нет
Последний личер: Нет
Приватный: Нет (DHT включён)
Школьникам, студентам и педагогам Скачать торрент
Скачать торрент
[ Размер 333.46 КБ / Просмотров 0 ]

Поделиться



  • Похожие торренты
    Ответы
    Просмотры
    Последнее сообщение

Вернуться в Школьникам, студентам и педагогам